الرياضيات · مثال محلول

تركيب الاقترانات: نبدأ بالاقتران الداخلي

التعبير (f ∘ g)(x) يعني إدخال x في g أولًا، ثم إدخال الناتج في f. ترتيب الاقترانين جزء من السؤال ويؤثر في الإجابة.

حاول قبل قراءة الحل

مثال توضيحي · تركيب الاقترانات

إذا كان f(x) = 2x + 1 وg(x) = x²، فما قيمة (f ∘ g)(3)؟

أ · 19

ب · 49

ج · 10

د · 13

عرض الحل خطوة بخطوة

الإجابة: أ · 19. في تركيب الاقترانات نطبق الاقتران الداخلي أولًا: g(3) = 3² = 9، ثم نعوّض الناتج في الاقتران الخارجي: f(9) = 2 × 9 + 1 = 19.

الاختيار 49 ينتج عند عكس الترتيب وحساب g(f(3))؛ لذلك نقرأ ترتيب التركيب قبل التعويض.

من التعويض العددي إلى القاعدة العامة

لدينا f(x) = 2x + 1 وg(x) = x². لإيجاد تركيب f ∘ g نعوّض قاعدة g مكان المتغير في قاعدة f:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1

عند x = 3 نحصل على 2 × 3² + 1 = 19. هذه هي النتيجة نفسها التي وجدناها بالتعويض على مرحلتين.

ماذا يحدث عند عكس الترتيب؟

إذا طبقنا f أولًا ثم g، فإن القاعدة تختلف:

(g ∘ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)²

وعند x = 3 تكون (2 × 3 + 1)² = 49. لذلك لا نفترض أن تركيب الاقترانات عملية تبديلية. في هذا المثال تحديدًا، f ∘ g ≠ g ∘ f.

المجال جزء من التحقق

الاقترانان في المثال كثيرتا حدود، ومجالهما الأعداد الحقيقية، لذا يمكن تطبيق التركيب لكل قيمة حقيقية. لكن عند وجود مقام أو جذر يجب أن تكون x في مجال الاقتران الداخلي، وأن يقع ناتجه في مجال الاقتران الخارجي.

مثلًا، إذا كان الاقتران الخارجي يتضمن القسمة على متغيره، فلا يجوز أن يرسل الاقتران الداخلي القيمة صفرًا إليه. لا تكتفِ بتبسيط القاعدة وإهمال هذه القيود.

تدريب قصير

بنفس الاقترانين، احسب (f ∘ g)(−2) و(g ∘ f)(−2).

تحقق من إجابتك

g(−2) = 4 ثم f(4) = 9. وبالترتيب المعكوس: f(−2) = −3 ثم g(−3) = 9. تتساوى القيمتان عند هذه القيمة، لكن هذا لا يعني أن القاعدتين متساويتان لكل x.