NanoMathematik
Verkettung von Funktionen: Welche kommt zuerst?
Bei (f ∘ g)(x) wird zuerst g angewendet, dann ihr Ergebnis in f eingesetzt. Die Reihenfolge ist wichtig: Ihre Umkehr verändert meist das Ergebnis.
Ein gelöstes Beispiel
Mathematik · Ein gelöstes Beispiel
Gegeben sind f(x) = 2x + 1 und g(x) = x². Bestimme (f ∘ g)(3). Wende zuerst die innere Funktion an.
Lösungsweg anzeigen
Berechne zunächst g(3) = 3² = 9, dann f(9) = 2 × 9 + 1 = 19. Das Ergebnis ist 19. Die umgekehrte Reihenfolge ergibt g(f(3)) = 49 und ist eine andere Rechnung.
Schritt für Schritt
Die allgemeine Regel lautet f(g(x)) = 2x² + 1. Umgekehrt erhält man g(f(x)) = (2x + 1)². Die Verkettung von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ.
Prüfe deine Lösung
Beide Funktionen sind Polynome mit reellem Definitionsbereich. Bei anderen Funktionen muss x im Definitionsbereich der inneren und deren Ergebnis im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen. Prüfe Nenner und Wurzeln vor dem Vereinfachen.
Probiere es selbst
Setze x = −2 ein. Beide Verkettungen ergeben dort 9: g(−2) = 4 und f(4) = 9; f(−2) = −3 und g(−3) = 9. Gleiche Werte an einer Stelle bedeuten nicht, dass beide Regeln identisch sind.